東算家洪正夏《九一集》之內容分析

Abstract

自十七世紀中葉開始，傳統數學知識與西方數學的交流衝擊，帶給朝鮮數學家新的研究方向與開始，其中算學家洪正夏 (1684-？) 之著作《九一集》不僅包含宋、元數學，更奠基於《算學啟蒙》、《楊輝算法》與《算法統宗》這些中世紀重要的東亞算學著作。1713年更以戶曹中的最低階官員會士之姿被遴選與清朝來使進行一場數學對話，年方30歲的洪正夏，何德何能得此殊榮？箇中源由不禁令人發想，洪氏對於朝鮮數學之貢獻亦值得深究。

另一方面，洪正夏乃中人階級，是朝鮮王朝（1392-1910）一個特殊的技術官僚集團，這是世界史的一個罕見的現象，非常值得深入探討。他們透過與同階層者聯姻，形成封閉且緊密的社會結構，造就階級的世襲與技術的交流。故而，洪正夏無法接觸貴族可學習的西方數學，只能探究中算，卻也著作了《九一集》，造就後人所稱讚的東算高峰期，箇中原因值得我們深究。

《九一集》分為九卷，有兩種版本流通。第一種版本為1868年由洪正夏之後人洪永錫 (1814-？) 再版之書冊，於書側內亦標示為「五世孫男永錫校字」。第二種版本並未包括任何前序與後記。甚至我們也無從得知誰是原始版本的傳寫者，只知與第一個版本相同，亦分為九卷。兩種版本間之比較，在「卷之一」至「卷之八」間皆相同，都以凡例與雜錄為主體。

本文中論及《九一集》內容，是以第二種版本為例介紹其架構，「卷之一」共有五門，分別是「縱橫乘除門」 (19問) 、「異乘同除門」 (8問) 、「田畝形段門」 (29問) 、「折變互差門」 (16問) 與「商功修築門」 (8問) 。其中，「縱橫乘除門」涉及整數的乘除運算，「異乘同除門」與「田畝形段門」類似中國《九章算術》之〈粟米〉中的「今有術」，至於「田畝形段門」與「商功修築門」則分別對應《九章算術》中的〈方田〉與〈商功〉。「卷之二」共有「貴賤差分門」 (22問) 、「差等均配門」 (18問) 與「貴賤反率門」 (3問) ，論其內容都涉及《九章算術》之〈衰分〉，且問題是更多樣化且複雜。

「卷之三」共有「之分齊同門」 (6問) 、「物不知總門」(13問) 與 「盈不足術門」 (13問) ，其中，「之分齊同門」涉及分數的乘除運算，「物不知總門」(即孫子問題)中的十三題，只有前六題可歸納至《孫子算經》中的「物不知總」題，其他七題都是「河婦蕩杯」的類型題，而「盈不足術門」則是談論盈虧問題。「卷之四」共有「方程正負門」 (14問) 、「毬隻解隱門」 (9問) 、「罐瓶堆垛門」 (19問) 與「倉囤積粟門」 (26問) ，在「方程正負門」的「法曰」中，作者以算籌記數「列所問數」亦在演算過程中，列出化簡之算籌圖示，方便讀者按圖索驥，而其他三門涉及體積計算、容積計算與堆垛問題。

接著，進入「卷之五」，包含「句股互隱門」 (78問) 與「望海島術門」 (6問) ，其中「句股互隱門」總共列出78個問題，為全書各門之冠，並且題問複雜者。最後，「卷之六」、「卷之七」與「卷之八」 分別是「開方各術門」的上、中、下，所各包含的題目分別有 58、66 和 42 題，皆是為解方程類型的題目。至於「卷之九」以「雜錄」題名，說明它的內容不好歸類到前面各門之中。

《九一集》奠基於元朝朱世傑《算學啟蒙》，卻發展出內容深度、廣度都遠遠超過之：例如最小公倍數之類型，《九一集》從二項討論至四項，其中包含兩者互質或兩兩不互質；「盈不足術門」中，從「盈、不足與適足」之六種組合中，扣除「二適足」之最小公倍術類型，本書中都一一解釋，而且是建構完整之知識體系，非零碎的技術架構；方程術中，可見洪正夏對此技術之熟稔，根據方程組之係數，為了不「製造」出難解的分數，靈活運用類似現今之「帶入消去法」和「變數變換，重新解題」，可看出自有一套SOP標準流程……等等，顯現洪正夏超然於《算學啟蒙》之上的數學程度，甚至於解決清朝來使所提之西方問題，洪氏之數學承襲自宋元數學，卻又發展出自我風格，創新一體，終究走出東算的一條路。